初中数学竞赛，数学习题竞赛初中

华罗庚数学竞赛。

给定正整数p、q，问关于x的方程\[px^2 – qx + 1=0\]的正根小于三时，有多少个这样的方程。

这道题目考察的是关于方程根的条件，需要进行一些简单的代数和几何方程的分析。

要先理解这个问题在问什么，需要求解多少个方程？这个问题并不要求我们求解根，而是考虑已知条件。关于x的方程正根小于3，如何表达？我们可以通过一元二次方程的求根公式，并化简，得到二分之p加上根号内p平方加上四q，再使这个不等式小于3。

这个等式乘以2后移项，再移动p项，就得到这种形式。接着对等式两边开方，得到这种形式。将6减p的平方展开，得到这种形式。将等式带入不等式，就得到这种形式。

根据题目要求，可以将不等式左右两边的p的平方进行化简，得到q + 3p < 9，其中p和q是正整数。

当$p=1$时，要求$q+3p<9$，则$q$可以取$1,2,3,4,5$，取到$6$时$q+3p=9$，不符合。因此$q$不能取$6$。当$p=2$时，$3p=6$，$q$只能取$1$或$2$。当$p=3$时，不等式不成立，因为$3p=9$，$9+q$肯定大于$9$，因此不可能成立。

因此总共就有一、二、三、四、五、六、七、八个这样的方程，你会做吗？